ಸೃಷ್ಟಿಯ ಸುಂದರ ಸೋಜಿಗಗಳಲ್ಲೊಂದು ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ

ತಿಳಿರು ತೋರಣ

srivathsajoshi@yahoo.com

ಪ್ರಕೃತಿ ಬಹಳ ಚಂದ, ಅಷ್ಟೇ ಚಮತ್ಕಾರಿಕ ಕೂಡ. ಸೃಷ್ಟಿಯ ನಿಗೂಢ ರಹಸ್ಯಗಳನ್ನು ಭೇದಿಸಲು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಶತಮಾನ ಗಳಿಂದಲೂ ಹೆಣಗುತ್ತ ಬಂದಿದ್ದಾರೆ. ಕೆಲವು ಸಂರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ ಕಂಡುಬರುವುದು ಕಾಕತಾಳೀಯ ಎನ್ನಬಹುದಾದರೂ ಬೇರೆ ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದ್ದೇಶದಿಂದ ಹಾಗೆ ರಚನೆಯಾದದ್ದಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷಯ ತದಿಗೆಯಂದು ಆಭರಣ ಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎನ್ನುವುದು ಪ್ರಾಚೀನ ಸಂಪ್ರ ದಾಯದಿಂದ ಬಂದದ್ದಿರಲಿಕ್ಕಿಲ್ಲ. ಬಹುಶಃ ಅದೊಂದು ಇತ್ತೀಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಶುರುವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಪಿಡುಗು. ‘ಅದನ್ನು ಪಿಡುಗು ಅಂತ ಯಾಕೆ ಹೇಳ್ತೀರಿ? ಕೊಳ್ಳು ವವರು ಬಂಗಾರದ ಬೆಂಡೋಲೆ ಯನ್ನಾದ್ರೂ ಕೊಳ್ಳಲಿ ವಜ್ರದ ವಡ್ಯಾಣವನ್ನಾದ್ರೂ ಖರೀದಿಸಲಿ ನಿಮಗೇನು ತೊಂದರೆ?’ ಎನ್ನಬಹುದು ಕೆಲವರು. ಅದೂ ಹೌದೆನ್ನಿ.

ಉಳ್ಳವರು ಶಿವಾಲಯವನ್ನಾದರೂ ಮಾಡಲಿ ಸವರನ್ ಗಟ್ಟಲೆ ಚಿನ್ನವನ್ನಾ ದರೂ ಪೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಿ ನಮಗೇನಂತೆ! ಆದರೆ ನಾನು ಈ ರೀತಿಯ ಪೀಠಿಕೆ ಹಾಕಿದ್ದು ಈ ಅಕ್ಷಯ ತದಿಗೆಯಂದು ನಿಮ್ಮ ಮನಸ್ಸನ್ನು ಬಂಗಾರದಿಂದ ಬೇರೆಡೆಗೆ ಸೆಳೆದು ಬಂಗಾರದಂಥ ವಿಚಾರವೊಂದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ತುಂಬಬೇಕೆಂಬ ಒಂದು ಒಳ್ಳೆಯ ಉದ್ದೇಶದಿಂದ.

ಅದಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಮೊದಲಿಗೊಂದು ಸಂಸ್ಕೃತ ಸುಭಾಷಿತ. ಭರ್ತೃಹರಿಯ ನೀತಿ ಶತಕದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಇದು ನನ್ನ ಫೇವರಿಟ್ ಗಳಲ್ಲೊಂದು: ‘ಕೇಯೂರಾ ನ ವಿಭೂಷಯಂತಿ ಪುರುಷಂ ಹಾರಾ ನ ಚಂದ್ರೋಜ್ವಲಾ| ನ ಸ್ನಾನಂ ನ ವಿಲೇಪನಂ ನ ಕುಸುಮಂ ನಾಲಂಕೃತಾ ಮೂರ್ಧಜಾಃ| ವಾಣ್ಯೇಕಾ ಸಮಲಂಕರೋತಿ ಪುರುಷಂ ಯಾ ಸಂಸ್ಕೃತಾ ಧಾರ್ಯತೇ| ಕ್ಷೀಯಂತೇ ಖಲು ಭೂಷಣಾನಿ ಸತತಂ ವಾಗ್ಭೂಷಣಂ ಭೂಷಣಮ್||’ ಇದರ ಭಾವಾರ್ಥವೇನೆಂದರೆ- ಭುಜಕೀರ್ತಿ ಚಂದ್ರಹಾರದಂತಹ ಆಭರಣಗಳಾಗಲೀ, ಸ್ನಾನ ಸುಗಂಧ ದ್ರವ್ಯಗಳ ಲೇಪನವಾಗಲೀ, ಸಿಂಗರಿಸಿದ ಕೇಶಶೈಲಿಯಾಗಲೀ ಮನುಷ್ಯನಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೋಭೆಯನ್ನು, ಗೌರವಾದರಗಳನ್ನು ತಂದುಕೊಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಳ್ಳೆಯ ಸಂಸ್ಕಾರಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಿಂದ ಬಂದ ಒಳ್ಳೆಯ ಮಾತೊಂದೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ, ವ್ಯಕ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸರ್ವಶ್ರೇಷ್ಠ ಅಲಂಕಾರ. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಾಪಂಚಿಕ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಿದ ಆಭರಣಗಳಾದರೋ ಕಾಲಕ್ರಮೇಣ ಸವಕಲಾಗುತ್ತವೆ, ಮಸುಕಾಗುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಒಳ್ಳೆಯ ನಡೆ-ನುಡಿ ಇದ್ದರೆ ಅದು ಎಂದಿಗಾದರೂ ಭೂಷಣವೇ! ನನಗನಿಸುತ್ತದೆ, ಭರ್ತೃಹರಿ ಇದರಲ್ಲೊಂದು ಎಡವಟ್ಟು
ಮಾಡಿದ್ದಾನೆ. ಶ್ಲೋಕದಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಸಲವೂ ‘ಪುರುಷಂ’ ಎಂದೇ ಬರೆದು ಶ್ಲೋಕದ ಅರ್ಥವ್ಯಾಪ್ತಿ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕೆ
ಅವಕಾಶ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ. ನಿಜಕ್ಕಾದರೆ ಭರ್ತೃಹರಿಯು ಪುರುಷ ಎಂದಿದ್ದು ಗಂಡು-ಹೆಣ್ಣು ಭೇದವಿಲ್ಲದೆ ಮನುಷ್ಯ ಎಂಬ ಒಟ್ಟಾರೆ
ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ. ಆದರೆ ನಾವದನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಪುರುಷ ಎಂದರೆ ಗಂಡಸು ಆದ್ದರಿಂದ ಸುಭಾಷಿತದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿರುವುದು ಗಂಡಸರಿಗಷ್ಟೇ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ನೀತಿ, ಹೆಂಗಸರಿಗಲ್ಲ
ಅಂದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅಲ್ಲಿಂದ ಶುರುವಾಯ್ತು ನೋಡಿ ಹೆಂಗಸರಿಗೆ ಆಭರಣ-ಅಲಂಕರಣಗಳ ಅತಿಯಾದ ಸೆಳೆತ. ಗುಣ
ಗೌಣ, ರೂಪ ಅಪರೂಪ ಆಗಬೇಕೆಂಬ ತುಡಿತ. ಅಂದಮಾತ್ರಕ್ಕೇ ಗಂಡಸರೆಲ್ಲ ನೀತಿಪಾಠವನ್ನು ಚಾಚೂ ತಪ್ಪದೆ ಪರಿಪಾ ಲಿಸುತ್ತ ಬೈರಾಗಿಗಳಾದರು ಎಂದೇನಲ್ಲ.

ಹೆಣ್ಣು ಸಿಂಗಾರದ ಹಿಂದೆ ಬಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕೈಗೂಡುವುದಕ್ಕಾಗಿ ಗಂಡು ಸಂಪತ್ತಿನ ಬೆನ್ನು ಹತ್ತಬೇಕಾಯಿತು. ಆದ್ದರಿಂದಲೇ ಅದೇ ಭರ್ತೃಹರಿಯು ಅದೇ ನೀತಿಶತಕದ ಇನ್ನೊಂದು ಶ್ಲೋಕದಲ್ಲಿ ‘ಸರ್ವೇ ಗುಣಾಃ ಕಾಂಚನಮಾಶ್ರಯಂತಿ’ ಎಂದಿರುವುದು. ಬೇಂದ್ರೆಯವರು ಅದನ್ನೇ ‘ಕುರುಡು ಕಾಂಚಾಣ ಕುಣಿಯುತಲಿತ್ತು ಕಾಲಿಗೆ ಬಿದ್ದವ್ರ ತುಳಿಯುತಲಿತ್ತು…’ ಎಂದು ಬಣ್ಣಿಸಿರು ವುದು.

ಅಂತೂ ಧನ- ಕನಕ ಬೇಕೆಂಬ ಆಸೆ ಕೊನೆತನಕ. ಅಕ್ಷಯ ತದಿಗೆಗಳೆಲ್ಲ ನೆಪ, ನಿಮಿತ್ತ ಮಾತ್ರ. ಸಮಾಜವು ಮೆಟೀರಿಯ ಲಿಸ್ಟಿಕ್ ಆಗುವುದರಲ್ಲಿ ಕಾಂಚಾಣದ್ದು ದೊಡ್ಡ ಪಾತ್ರ. ಅದಕ್ಕೇ ಹೇಳಿದ್ದು, ನಮಗೆ ಬಂಗಾರದ ಒಡವೆಯೂ ಬೇಡ, ಅದರ ಗೊಡವೆಯೇ ಬೇಡ. ಬದಲಿಗೆ ‘ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ’ ಎಂಬೊಂದು ಚಿನ್ನದಂಥ ವಿಷಯದ ತೋರಣ ಕಟ್ಟೋಣ. ಆ ಮೂಲಕ ಅಕ್ಷಯತದಿಗೆಯ ಸ್ವರ್ಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಊರ್ಜಿತದಲ್ಲಿಡೋಣ.

ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತ ನೀವು ಗಣಿತವನ್ನು ಆಸ್ಥೆಯಿಂದ ಕಲಿತಿರೋ ಒಲ್ಲದ ಮನಸ್ಸಿನಿಂದ ಕಲಿತಿರೋ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ
ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಹೆಸರು ನಿಮ್ಮ ಕಿವಿಮೇಲೆ ಬಿದ್ದದ್ದಿರುತ್ತದೆ. ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಿರೀಸ್ ಎಂಬ
ಸಂಖ್ಯಾಸರಣಿ ತುಂಬಾ ಪ್ರಖ್ಯಾತವಾದುದು, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ತ್ವವುಳ್ಳದ್ದು ಕೂಡ. ೦, ೧, ೧, ೨, ೩, ೫, ೮, ೧೩, ೨೧, ೩೪, ೫೫, ೮೯, ೧೪೪… ಹೀಗೆ ಅನಂತದವರೆಗೂ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಈ ಸರಣಿ.

ಸೊನ್ನೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಎಂಬ ಆರಂಭಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಿಕ ಈ ಸರಣಿಯ ರಚನೆ ಹೇಗೆ ಆಗಿದೆಯೆಂದರೆ, ಹಿಂದಿನೆರಡು
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಕೆ. ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಫಿಬೊನಾಚಿ (ಕ್ರಿಸ್ತ ಶಕ 1170 ರಿಂದ 1250ರ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಬಾಳಿದ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ) ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದು ಒಂದು ಜಾಣ್ಮೆಲೆಕ್ಕ ಬಿಡಿಸುವಾಗ. ಮೊಲಗಳ ಸಂತಾನವೃದ್ಧಿ ಯಾವ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದೇ ಆ ಜಾಣ್ಮೆಲೆಕ್ಕ. ಒಂದು ಜೊತೆ ಗಂಡು-ಹೆಣ್ಣು ಮೊಲಗಳಿವೆ.

ಅವು ಒಂದು ತಿಂಗಳ ಪ್ರಾಯದವಾದಾಗ ಕೂಡಿ ಹೊಸದಾಗಿ ಒಂದು ಜೊತೆ ಗಂಡು-ಹೆಣ್ಣು ಮರಿಗಳನ್ನಿಡುತ್ತವೆ. ಆಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ತಿಂಗಳೂ ಒಂದೊಂದು ಜೊತೆ ಮರಿಗಳನ್ನಿಡುತ್ತವೆ. ಮರಿಗಳು ಒಂದು ತಿಂಗಳ ಪ್ರಾಯದವಾದಾಗ ಅವೂ ಕೂಡಿ ಇನ್ನೊಂದು ಜೊತೆ ಮರಿಗಳನ್ನಿಡುತ್ತವೆ. ಮೊಲಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಹೀಗೆಯೇ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತ ಹೋದರೆ ಪ್ರತಿ ತಿಂಗಳ ಕೊನೆಗೆ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಜೊತೆ ಮೊಲಗಳಿರುತ್ತವೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ. ಹಾಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರೆ ಉತ್ತರ ಕ್ರಮವಾಗಿ ೧, ೨, ೩, ೫, ೮, ೧೩, ೨೧… ಇದು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿ.

ಇಷ್ಟೇ ಆಗಿರುತ್ತಿದ್ದರೆ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಥದೇನೂ ಸ್ವಾರಸ್ಯವಿರುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಮೊಲಗಳೇನು ತೀರ ನಿಖರತೆಯಿಂದ
ಗಡಿಯಾರ-ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್‌ಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಕ್ಷಣಗಣನೆ ಮಾಡಿ ಹಾಗೆ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡುತ್ತವೆಯೇ? ಅದೇನಿದ್ದರೂ ಜಾಣ್ಮೆಲೆಕ್ಕದ ಅಂದ ಅಷ್ಟೇ. ಸ್ವಾರಸ್ಯವಿರುವುದೆಲ್ಲಿಯೆಂದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯಾಸರಣಿಗೆ ವಿಶ್ವದೆಲ್ಲೆಡೆ ‘ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿ’ ಎಂಬ ಹೆಸರಿದೆಯಾದರೂ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಫಿಬೊನಾಚಿಗಿಂತ ಸುಮಾರು ಐನೂರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇದೇ ಸಂಖ್ಯಾಸರಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದರು.

ಹೇಮಚಂದ್ರ, ಗೋಪಾಲ, ಮತ್ತು ವಿರಹಂಕ ಎಂಬ ಮೂವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಬೇರೆಬೇರೆ ಇತಿಹಾಸಕಾರರು ಈ ಬಗ್ಗೆ
ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ. ಛಂದಶ್ಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಿದ ಪಿಂಗಳನ ಹೆಸರೂ ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹವೇ. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಇತಿಹಾಸ ಕಾರರ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಂತೆ ಇದರ ಕೀರ್ತಿ ಸಲ್ಲುವುದು ವಿರಹಂಕನಿಗೇ. ಈತ ಬರೀ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನಲ್ಲ, ಕಾವ್ಯರಚನೆ ಮತ್ತು ಛಂದಸ್ಸಿನ ವಿಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದವನು. ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿರಹಂಕ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದು ಕೂಡ ಛಂದಸ್ಸಿನ ಲಘು-ಗುರು ಮಾತ್ರೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗಲೇ.

ಛಂದೋಬದ್ಧ ಕಾವ್ಯಗಳಿಗೆ ನಾವು ಲಘು-ಗುರು ಪ್ರಸ್ತಾರ ಹಾಕುತ್ತೇವಷ್ಟೆ? ಲಘು ಅಂದರೆ ಒಂದು ಮಾತ್ರಾಕಾಲ, ಗುರು
ಎಂದರೆ ಅದರ ದ್ವಿಗುಣ, ಎರಡು ಮಾತ್ರಾಕಾಲ. ಕಾವ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಅಷ್ಟೂ ಲಘು-ಗುರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಒಂದು
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗುತ್ತದಷ್ಟೇ? ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಮ್ಮ ಫೇವರಿಟ್ ‘ಕೇಯೂರಾ ನ ವಿಭೂಷಯಂತಿ ಪುರುಷಂ
ಹಾರಾ ನ ಚಂದ್ರೋಜ್ವಲಾ…’ ಸುಭಾಷಿತವನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಶಾರ್ದೂಲ ವಿಕ್ರೀಡಿತವೃತ್ತ ಎಂಬ ಛಂದಸ್ಸಿನಲ್ಲಿರುವ ಇದರ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ೧೯ ಅಕ್ಷರಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ
ಲಘು-ಗುರು ಮಾತ್ರೆಗಳ ಮೊತ್ತ ೩೦ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿರಹಂಕನ ಪ್ರಶ್ನೆ ಏನೆಂದರೆ ‘ಕಾವ್ಯದ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಲಘು-ಗುರುಗಳ
ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಸುಭಾಷಿತದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ೩೦) ಆಗಬೇಕಿದ್ದರೆ ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ
ಲಘು-ಗುರು ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ ಆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತರಿಸಬಹುದು?’ ಎಂದು.

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಉತ್ತರಕ್ಕಾಗಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ೧ರಿಂದ ಒಂದೊಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಂತೆಲ್ಲ ವಿರಹಂಕ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇ ನೆಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ೧, ೨, ೩, ೫, ೮, ೧೩, ೨೧, ೩೪, ೫೫, ೮೯… ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿ ಯೆಂದರೂ ಇದೇ ತಾನೆ? ಈ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಿಕ್ಕೆ ವಿರಹಂಕನೂ ‘ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಆಲ್ಗೋರಿದಂೞಗಳನ್ನೇ ಬಳಸಿದ್ದನು.

ನಿಜವಾಗಿಯಾದರೆ ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ನಾವು ಭಾರತೀಯರಾದರೂ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿ ಎನ್ನದೆ ವಿರಹಂಕನ ಸರಣಿ ಎಂದೇ ಇದನ್ನು
ಗುರುತಿಸಬೇಕು. ಆದರೆ ಏನು ಮಾಡುವುದು, ಸಮಸ್ಯೆ ಆಗುವುದೆಲ್ಲಿಯೆಂದರೆ ವಿರಹಂಕನ ಗಣಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನೂ ಉತ್ತರ ವನ್ನೂ ವಿವರಿಸುವುದು ಮೊಲಗಳ ಸಂತಾನವೃದ್ಧಿಯ ಜಾಣ್ಮೆಲೆಕ್ಕದಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಅಲ್ಲದೇ ಮೊಲಗಳ ಲೆಕ್ಕವನ್ನಾದರೆ ಅನಂತದವರೆಗೂ ವೃದ್ಧಿಸಬಹುದು. ಕಾವ್ಯರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಲಘು-ಗುರು ಮೊತ್ತ ಅನಂತವಾಗುವುದೆಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ? ಅದಕ್ಕೇ ಇರಬೇಕು ವಿರಹಂಕನ ಸರಣಿ ವಿಶ್ವಗಣಿತಜ್ಞರ ಗಮನವನ್ನು ಅಷ್ಟೇನೂ ಸೆಳೆಯಲಿಲ್ಲ.

ಫಿಬೊನಾಚಿ ಮಂಡಿಸಿದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಾದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸುಲಭದಲ್ಲೇ ಆಸಕ್ತಿ ಹುಟ್ಟಿತು. ಅನಂತತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯೂ
ಇರುವುದರಿಂದ ಸರಣಿಯು ಅವನದೇ ಹೆಸರಿನಿಂದ ವಿಶ್ವವಿಖ್ಯಾತವಾಯಿತು. ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯವು ಕೆಲವು ಕುತೂಹಲ ಕರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿವೆ. ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಮೂರನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ೧ರಿಂದ ಅನಂತದವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯಿಂದ ಒಂದಿಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂಬಂತೆ ತೋರಿಸುವುದಕ್ಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಹಾಗೆ ಮಾಡುವಾಗ ಒಂದೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡುವುದಕ್ಕೂ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಇಂಥವೆಲ್ಲ ಬಣ್ಣನೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜನರಿಗೆ ‘ತಲೆ ಮೇಲಿಂದ ಹಾದುಹೋದಂತೆೞ ಅನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯುಳ್ಳವರಿಗೆಲ್ಲ ಇವು ಕಲ್ಲುಸಕ್ಕರೆಯಂತೆ ಚಪ್ಪರಿಸಲಿಕ್ಕಾಗುವ ರೋಚಕ ಸಂಗತಿಗಳು. ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯ
ಇನ್ನೊಂದು ಮುಖ್ಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಸರಣಿ ಮುಂದುವರಿದಂತೆಲ್ಲ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಪಾತ (ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ) ಒಂದು ಸ್ಥಿರಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇರುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ೮೯ನ್ನು ೫೫ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಉತ್ತರ ೧.೬೧೮.

ಅದೇ ರೀತಿ ೧೪೪ನ್ನು ೮೯ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೂ ಅದೇ ಉತ್ತರ. ೨೩೩ನ್ನು ೧೪೪ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೂ ಡಿಟ್ಟೋ. ಅಂದರೆ, ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿ ಅನಂತ ದೆಡೆಗೆ ಮುಂದುವರಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಪಾತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೆಲೆ ಸರಿಸುಮಾರು ೧.೬೧೮ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನೇ ಗೋಲ್ಡನ್ ರೇಷಿಯೊ ಅಥವಾ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ ಎನ್ನುವುದು. ಇದನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದಕ್ಕೇ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ ‘-’ಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಫಿಬೊನಾಚಿಗೆ ಮೊಲಗಳ ಸಂತಾನವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಣಿ ಗೋಚರಿಸಿದ್ದು ಆಕಸ್ಮಿಕವೇ?
ಅಲ್ಲವೆನ್ನಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಎಷ್ಟೋ ಪ್ರಾಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಸ್ಯಗಳು ಕೂಡ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯನ್ನೇ ಹೋಲುವ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ರೀತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಬೇಕಿದ್ದರೆ ಬೇರೆಬೇರೆ ಹೂವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ದಳಗಳಿರುತ್ತವೆಯೆಂದು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾಲ್ಕು ದಳ ಆರು ದಳ ಇರುವ ಹೂವುಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು, ಎರಡು, ಮೂರು, ಐದು, ಎಂಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಳಗಳಿರುವ ಹೂವುಗಳ ದೊಡ್ಡ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನೇ ಮಾಡಬಹುದು.

ಅಂದರೆ, ಹೂವಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ದಳಗಳಿರಬೇಕು ಎಂದು ಪ್ರಕೃತಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದಲೇ. ಜೇನುಗೂಡಿ ನಲ್ಲಿ ಜೇನುನೊಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ವಧಿಸುವುದು ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲೇ. ಹೂಗಿಡಗಳ ಕಾಂಡದಿಂದ ಟಿಸಿಲುಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳುವುದೂ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲೇ. ಸೂರ್ಯಕಾಂತಿ ಹೂವಿನೊಳಗೆ ಸಣ್ಣಸಣ್ಣ ಬೀಜಗಳ ಜೋಡಣೆ ಒಳವರ್ತುಲದಿಂದ ಹೊರಕ್ಕೆ ವಿನ್ಯಾಸವಾಗುವುದೂ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯೇ. ಅನನಾಸು ಹಣ್ಣಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಕಣ್ಣುಗಳಂಥ ಸಣ್ಣ ಭಾಗಗಳ ಸಂರಚನೆಯಾಗುವುದು ಕೂಡ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲೇ. ಟಗರಿನ ಕೊಂಬು ಅಥವಾ ಮೃದ್ವಂಗಿ ಜೀವಿಯ ಚಿಪ್ಪು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರ ಪಡೆಯುವುದು ಕೂಡ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲೇ!

ಇನ್ನು, ಮಾನವಶರೀರದ ಸಂರಚನೆಯನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡಿಎನ್‌ಎ ಮೊಲಿಕ್ಯೂಲ್ ಸಹ ೩೪ ಆಂಗ್‌ ಸ್ಟ್ರಾಮ್ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ೨೧ ಆಂಗ್‌ಸ್ಟ್ರಾಮ್ ಅಗಲ (೩೪ ಮತ್ತು ೨೧ ಇವೆರಡೂ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತದಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೇಕಿರಬಹುದು? ಪ್ರಕೃತಿ ಬಹಳ ಚಂದ, ಅಷ್ಟೇ ಚಮತ್ಕಾರಿಕ ಕೂಡ. ಸೃಷ್ಟಿಯ ನಿಗೂಢ ರಹಸ್ಯಗಳನ್ನು ಭೇದಿಸಲು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಶತಮಾನಗಳಿಂದಲೂ ಹೆಣಗುತ್ತ ಬಂದಿದ್ದಾರೆ.

ಕೆಲವು ಸಂರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಸರಣಿ ಅಥವಾ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ ಕಂಡುಬರುವುದು ಕಾಕತಾಳೀಯ ಎನ್ನಬಹುದಾ
ದರೂ ಬೇರೆ ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದ್ದೇಶದಿಂದ ಹಾಗೆ ರಚನೆಯಾದದ್ದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗಿಡದ ಟೊಂಗೆಯಲ್ಲಿ ಎಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಟಿಸಿಲುಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಲೆಗೂ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸೂರ್ಯರಶ್ಮಿ ಸಿಗುವಂತಾಗಲಿಕ್ಕೆ.

ಹೂವಿನೊಳಗೆ ಬೀಜಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ ಆ ರೀತಿ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವುದು ಅತಿಕಡಿಮೆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅತಿಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಳ ಜೋಡಣೆ ಯಾಗಲು. ಬೇರೆಲ್ಲ ಏಕೆ, ನಿಮ್ಮದೇ ಕೈಯನ್ನು ಚಾಚಿದಾಗ ಮೊಣಕೈಯಿಂದ ನಡುಬೆರಳ ತುದಿಯವರೆಗಿನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಂಗೈಯ ಉದ್ದ ಪರ್ಫೆಕ್ಟಾಗಿ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದು ಕೈಕರಣದ ಎಲ್ಲ ಕೆಲಸಗಳನ್ನೂ ಸಲೀಸಾಗಿ ಮಾಡುವಂತಾಗ ಲಿಕ್ಕೆ!

ಸೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಇಷ್ಟು ಶಿಸ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತದ ಪಾಲನೆ ಯಾಗಿರುವಾಗ, ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತನಿಗೇ ಅಚ್ಚುಮೆಚ್ಚಿನ ಅನುಪಾತ
ಅದಾಗಿರುವಾಗ, ಸಹಜವಾಗಿಯೇ ಸೃಷ್ಟಿಯ ಸೌಂದರ್ಯ ಸಮತೋಲನ ಸಹಿಷ್ಣುತೆ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಈ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತವೇ
ಮೂಲಕಾರಣ ಎನ್ನುವ ನಂಬಿಕೆ ಬೇರೂರಿರಬಹುದು. ಅದೇ ನಂಬಿಕೆಯಿಂದ ಮಾನವನಿರ್ಮಿತ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲೂ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ ವನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವ, ತನ್ಮೂಲಕ ಸೌಂದರ್ಯ-ಸಮತೋಲನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಯತ್ನ ಶುರುವಾಗಿರಬಹುದು.

ಈಜಿಪ್ಟ್‌ನ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ ಇದೆಯಂತೆ. ಗ್ರೀಕರ ಪಾರ್ತನಾನ್ ಮುಂತಾದ ಪುರಾತನ
ಸೌಧಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ ಇದೆ. ಇತಿಹಾಸ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ರಿನೈಸಾನ್ಸ್ ಕಲಾವಿದರ ಕಲಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ  ಸ್ವರ್ಣಾನು ಪಾತವಿದೆ. ಕ್ರಿ.ಶ ೧೬ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಡ ವಿಂಚಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ‘ದ ಲಾಸ್ಟ್ ಸಪ್ಪರ್’ ಕೃತಿಯಲ್ಲೂ  ಏಸುಕ್ರಿಸ್ತನು ತನ್ನ ಶಿಷ್ಯರೊಂದಿಗೆ ಊಟಕ್ಕೆ ಕುಳಿತ ಮೇಜಿನ ಉದ್ದಗಲ, ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿನ ಕೊಠಡಿಯ ಗೋಡೆಗಳ, ಕಿಟಕಿಗಳ ಉದ್ದಗಲಗಳಲ್ಲೂ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತವನ್ನೇ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆಯಂತೆ.

ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಆವಾಗಿನಿಂದ ಇದಕ್ಕೆ ‘ಡಿವೈನ್ ಪ್ರಪೊರ್ಷನ್’ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಸಹ ಬಂದಿದೆ. ಆಯತಾಕೃತಿಯ ಉದ್ದ-ಅಗಲ ಅಳತೆಗಳು ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ ದಲ್ಲಿದ್ದರೇನೇ ಚಂದ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ನಮ್ಮ ಕಣ್ಣಿಗೆ ಬೀಳುವ ಬಹುತೇಕ ಆಯತಾಕೃತಿಗಳು ಆ ರೀತಿಯವೇ ಇರುವುದು. ಅದು ನ್ಯಾಶನಲ್ ಜಿಯೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಾನೆಲ್‌ನ ಲೋಗೊ ಹಳದಿ ಆಯತವಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಪರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರೆಡಿಟ್ ಕಾರ್ಡ್ (ಸುಮಾರು ೮೬ ಮಿಲಿಮೀಟರ್ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಸುಮಾರು ೫೩ ಮಿಲಿಮೀಟರ್ ಅಗಲ) ಇರಬಹುದು ಅಲ್ಲೆಲ್ಲ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ ಪಾಲನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಹ್ಲಾದನು ಹಿರಣ್ಯಕಶಿಪುವಿಗೆ ಹೇಳಿದ್ದನಲ್ಲ ‘ಅಣುರೇಣು ತೃಣಕಾಷ್ಠಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲ ಇರುವ ಶ್ರೀಹರಿ ಈ ಕಂಬದಲ್ಲೂ ಸಹಿತ ಇದ್ದಾನೆ’ ಎಂದು? ಅದೇರೀತಿ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರಚನೆಯಲ್ಲೂ, ಪ್ರಕೃತಿಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸಿದ ಮಾನವನಿರ್ಮಿತ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲೂ ಎಲ್ಲಿ ನೋಡಿದರೂ ಸ್ವರ್ಣಾನುಪಾತ!

ಹೀಗೆ ಪ್ರಕೃತಿಸೌಂದರ್ಯವನ್ನು ಅರಿಯುವ, ಅನುಸರಿಸುವ, ಅನುಕರಿಸುವ, ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ, ಆರಾಧಿಸುವ ಸೌಂದರ್ಯ
ಪ್ರe ಇದ್ದರೆ ಸಾಕು. ಸೌಂದರ್ಯವರ್ಧನೆಗೆಂದು ಬೇರೆ ಆಭರಣ-ಅಲಂಕರಣಗಳ ಆವಶ್ಯಕತೆಯೇ ಇಲ್ಲ. ಸುಭಾಷಿತದಲ್ಲಿ
ಹೇಳಿದಂತೆ ಪುರುಷರಿಗಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಸ್ತ್ರೀಯರಿಗೂ.